АБВ + АБВ + АБВ = ВВВ Но это, конечно же, не произведения, а трёхзначные числа. Число АБВ: первая цифра — А, вторая цифра — Б, третья цифра — В. Число ВВВ: в каждом из трёх разрядов находится В. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры. Как найти, чему равна каждая из букв? Наверное, найдутся люди, которые сразу, можно даже сказать мгновенно, решат её в уме. Тогда я усложняю условие. Допустим, нам неизвестна ещё и система счисления. Плюс ещё к тому же я ставлю два дополнительных условия: 1) цифра А не может равняться нулю; 2) цифра В тоже не может равняться нулю. Как решить данную задачу в таком усложнённом варианте? Последние условия про А и В ≠0, наверное лишние. Они и так не могут быть 0. Если В=0, то результат равен 0, следовательно все исходные числа 0. А=0 - это незначащий ноль, что тоже особо не имеет смысла. Теперь сама задача. Можно рассуждать так. 3*В=В+n, где n - основание системы счисления. Отсюда следует, что основание системы счисления должно быть чётным. Начнем с привычной десятичной системы. n=10 3*Б+1=n+B или 3*Б+1=2n+B Пробуем 3*Б+1=15. Не получается, 14 не делится на 3. Пробуем 3*Б+1=25 3*А+2=В, 3*А=3, А=1 Итак, в десятичной системе А=1, Б=8, В=5. Число 185. Теперь попробуем шестнадцатиричную систему. n=16. Вычислять для простоты будем в привычной десятичной системе. 3*Б+1=n+B или 3*Б+1=2n+B Пробуем 3*Б+1=24. Не получается, 23 не делится на 3. 3*Б+1=32+8; 3*Б=39; Б=13 (т.е. в шестнадцатеричной Б=D) 3*А+2=В; 3*А=6; А=2 В шестнадцатеричной системе получилось А=2, Б=D, B=8. Число 2D8. В восьмеричной системе у меня не получилось найти решение (может считала невнимательно, а может его и правда нет), остальные системы с черными основаниями не пробовала. В системах счисления я не разбираюсь. А число 185 подходит, как решение данной головоломки

В десятиченой системе всё просто. Число из трёх одинаковых цифр должно делиться на 37, потому что 37х3=111, а ВВВ кратно 111. И простой перебор мгновенно приводит к АБВ = 185, что и нашёл поТОМ­окноЯ. Кроме того, поскольку тут есть три разные цифры, то система счисления должна быть как минимум троичной. При этом в троичной системе только Б может быть равно нулю, если следовать дополнительным условиям. С другой стороны, сумма трех одинаковых трёхзначных чисел в троичной системе не может дать опять же трёхзначного числа - оно выйдет за разрядную сетку. Так что про троичную систему забыли и займёмся четверичной. Тогда, по той же причине (ограничение разрядной сетки) А=1. Любой другой вариант даст сумму, превышающую 333 (максимально возможно трёхзначное число в четверичной системе). Тогда В=2, только при таком варианте получится двойка в последнем разряде суммы (в четверичной системе 2+2+2=12). Это, надо сказать, универсальное правило, верное для любой системы: последняя цифра должна быть равна половине основания системы счисления. По этой же причине основание системы не может быть нечётным. Но первая цифра суммы, как мы выяснили, 3 и никакая другая, то есть В=2 тоже не годится. Поэтому и четверичная система тоже мимо. Пятеричная, семеричная и девятеричная системы: как отмечено, основание должно быть чётным числом, так что эти все тоже идут в ведро. Шестеричная: как и прежде, А=1 (при А=2 выходим за разрядную сетку). В, как мы выяснили, должно быть 3 (3+3+3=13). Однако единица в переносе портит всю малину: раз все цифры разные и раз 1 и 3 уже заняты, при этом А+А+А уже равно 3, то нет вариантов, при котором заёмная 1 от младшего разряда давала бы тройку во втором разряде, причём так, чтоб "в уме" для второго разряда не появлялось. Всё, шестеричная система тоже идёт лесом. Восьмеричную я пропущу, и сейчас станет ясно - почему. Вот остаётся у нас старая добрая десятичная система, где решение есть, и оно равно 185. Теперь получим его "правильно", это пригодится дальше. В=5, как и полагается. А=1, иначе не получить пятёрку в старшем разряде и трёхзначную сумму. Значит, надо ещё двойку как перенос из суммирования второго разряда, поэтому для Б должно выполняться Б+Б+Б+1=2*10+5. Откуда и получаем Б=8. И вот тут можно заметить важную вещь: основание системы счисления должно быть чётным, но вот половина основания из-за "+1" должна быть нечётной . Поэтому отпадают такие системы, как восьмеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная и так далее. Для полноты картины можно посмотреть и на другие системы счисления с чётным основанием и нечётной половиной основания. Четырнадцатеричная: В=7, А=2 и должна быть единица из среднего разряда. То есть для среднего разряда имеем Б+Б+Б+1=17₁₄, или, в привычной десятичной записи, 3*Б+1=21. В целых числах решения нет. Восемнадцатеричная: В=9, А=3, причём никакого заёма из среднего разряда. Для Б тогда должно быть Б+Б+Б+1=9. Решения нет. Система по основанию 22: В=B₂₂, A = 3 и двойка переноса из предыдущего разряда. Для Б имеем, в десятичной записи, Б+Б+Б+1=2*22+11, откуда Б=18, что в 22-ричной системе соответствует цифре H, то есть 3НВ+3НВ+3НВ=ВВВ , все буквы тут обозначают соответствующие цифры системы с основанем 22. Ну в общем желающие могут рассмотреть и другие системы счисления, я спёкся. Важно лишь, чтобы уравнение Б+Б+Б+1=n*Base+Base/­ 2 решалось относительно Б в целых числах (Base - основание системы счисления). Для Base=10 такое решение есть: 8+8+8+1=25 (2*10+10/2). Рассмотрим варианты для различных систем счисления: Основание системы счисления равно 10 185=185 (A=1; Б=8; В=5): 185+185+185=555 Основание системы счисления равно 16 728=2D8 (A=2; Б=D; В=8): 2D8+2D8+2D8=888 Основание системы счисления равно 22 1859=3IB (A=3; Б=I; В=B): 3IB+3IB+3IB=BBB Основание системы счисления равно 28 3794=4NE (A=4; Б=N; В=E): 4NE+4NE+4NE=EEE Основание системы счисления равно 34 6749=5SH (A=5; Б=S; В=H): 5SH+5SH+5SH=HHH