平面図形 に関する88記事をまとめました。くわしくは各リンク先を見てください。 3辺の長さが a , b , c a, b, c a , b , c の三角形の面積 S S S は, s = a + b + c 2 s=\dfrac{a+b+c}{2} s = 2 a + b + c ​ と置くと， S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ​ で計算できる。この公式をヘロンの公式と言う。 中線定理 （パップスの中線定理）とは，図において A B 2 + A C 2 = 2 ( A M 2 + B M 2 ) AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2) A B 2 + A C 2 = 2 ( A M 2 + B M 2 ) が成立するという定理。ただし， M M M は B C BC BC の中点。 どんな三角形でも，各頂点から向かいの辺に下ろした 3本の垂線 は一点で交わる。その点を三角形の 垂心 と呼ぶ。 3辺の長さが a , b , c a,\:b,\:c a , b , c である三角形が存在する必要十分条件は， a + b > c a+b > c a + b > c かつ b + c > a b+c > a b + c > a かつ c + a > b c+a > b c + a > b 三角形 A B C ABC A BC に対して， a = b cos ⁡ C + c cos ⁡ B a=b\cos C+c\cos B a = b cos C + c cos B b = c cos ⁡ A + a cos ⁡ C b=c\cos A+a\cos C b = c cos A + a cos C c = a cos ⁡ B + b cos ⁡ A c=a\cos B+b\cos A c = a cos B + b cos A →第一余弦定理とその３通りの証明 図において，黄色部分の面積と青い部分の面積は等しい。 →ヒポクラテスの定理とその証明 三平方の定理（ピタゴラスの定理）： ∠ C = 9 0 ∘ \angle C=90^{\circ} ∠ C = 9 0 ∘ であるような直角三角形において， a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 a 2 + b 2 = c 2 →三平方の定理の４通りの美しい証明 内接円 とは，三角形の3つの辺全てに接する円のこと。内接円の半径は， S = r 2 ( a + b + c ) S=\dfrac{r}{2}(a+b+c) S = 2 r ​ ( a + b + c ) という公式を使って計算できる。 接線と弦のつくる角 ∠ B A D \angle BAD ∠ B A D は，その弦に対する円周角 ∠ A C B \angle ACB ∠ A CB と等しい。 これを 接弦定理(せつげんていり) と言う。 →接弦定理の意味・例題・証明・逆をわかりやすく 「面積比」は「相似比の2乗」と等しい →相似比と面積比・体積比：いろいろな例と証明 任意の正の有理数 q q q に対して，長さ 1 1 1 の線分が与えられれば長さ q \sqrt{q} q ​ の線分を定規とコンパスで作図できる。 →平方根の長さを作図する２通りの方法 三角形 A B C ABC A BC の面積 S S S は， S = 1 2 a b sin ⁡ C = 1 2 b c sin ⁡ A = 1 2 c a sin ⁡ B S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B S = 2 1 ​ ab sin C = 2 1 ​ b c sin A = 2 1 ​ c a sin B →sinを用いた三角形の面積公式 ある図形を，ある直線に関して折り返す移動を 線対称移動 という。 ある図形を，ある点を中心に 18 0 ∘ 180^{\circ} 18 0 ∘ 回転させる移動を 点対称移動 という。 →図形の対称移動・グラフの対称移動 座標平面における円の方程式には以下の2つの形がある： →円の方程式と関連問題｜座標・ベクトル・複素数 d = ( a x ) 2 + ( a y ) 2 d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2} d = ( a x ​ ) 2 + ( a y ​ ) 2 ​ d = ( a x ) 2 + ( a y ) 2 + ( a z ) 2 d = \sqrt{(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2} d = ( a x ​ ) 2 + ( a y ​ ) 2 + ( a z ​ ) 2 ​ →平面，空間上の2点間の距離について 媒介変数表示 とは，「関連する変数同士の関係を他の変数を用いて表すこと」です。 円周上にある3点 A , B , C A,B,C A , B , C を頂点とする三角形 A B C ABC A BC について，1辺が円の直径と一致するなら， A B C ABC A BC は直角三角形。 →直角三角形の定義とさまざまな公式 同じ弧に対する 円周角 は全て等しい 線分 A B \mathrm{AB} AB の 垂直二等分線 とは， A B \mathrm{AB} AB の中点を通り A B \mathrm{AB} AB と直交する直線のこと。 図において △ A B P : ABP: A BP : △ A C P = B D : C D ACP=BD:CD A CP = B D : C D →三角形の面積比にまつわる公式たち a : b = d : e a:b=d:e a : b = d : e ( a + b ) f = 2 a b cos ⁡ A 2 (a+b)f=2ab\cos \dfrac{A}{2} ( a + b ) f = 2 ab cos 2 A ​ f 2 = a b − d e f^2=ab-de f 2 = ab − d e ただし， D D D は ∠ A \angle A ∠ A の二等分線と B C BC BC の交点で， A B = a , A C = b , B D = d , D C = e , A D = f AB=a, AC=b, BD=d,DC=e, AD=f A B = a , A C = b , B D = d , D C = e , A D = f →角の二等分線に関する重要な３つの公式 A F F B × B D D C × C E E A = 1 \dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}=1 FB A F ​ × D C B D ​ × E A CE ​ = 1 が成立する。これをチェバの定理と言う。 →チェバの定理：例題と３通りの証明 三角形 A B C ABC A BC と辺 B C BC BC 上の点 P P P に対して， b 2 ⋅ B P + c 2 ⋅ C P = a ( B P ⋅ C P + A P 2 ) b^2\cdot BP+c^2\cdot CP\\=a(BP\cdot CP+AP^2) b 2 ⋅ BP + c 2 ⋅ CP = a ( BP ⋅ CP + A P 2 ) が成立する。 →スチュワートの定理の証明とその仲間 三角形の自由度は 3 3 3 である。 すなわち，三角形に関して（独立な）3個の情報が与えられたら残りの情報も分かる。 半径が異なる2つの円の位置関係は以下の5通り。 円周上に点 A , B , C , D A,B,C,D A , B , C , D がある。 A B AB A B と C D CD C D が 円の内部の点 P P P で交わるとき， P A × P B PA\times PB P A × PB = = = P C × P D PC\times PD PC × P D →方べきの定理の意味と2通りの証明 図において， A D D B × B E E C × C F F A = 1 \dfrac{AD}{DB}\times\dfrac{BE}{EC}\times\dfrac{CF}{FA}=1 D B A D ​ × EC BE ​ × F A CF ​ = 1 が成立する。これをメネラウスの定理と言う。 →メネラウスの定理の覚え方と拡張 円周角の定理が使える。つまり，円に内接する四角形 A B C D ABCD A BC D において， ∠ D A C = ∠ D B C \angle DAC=\angle DBC ∠ D A C = ∠ D BC などが成り立つ。 →円に内接する四角形の性質とその証明まとめ 1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは 1 + 5 2 \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} 2 1 + 5 ​ ​ である。 →正五角形の対角線の長さと作図方法 正三角形の 内接円の半径 は 3 6 a ≒ 0.289 a \dfrac{\sqrt{3}}{6}a\fallingdotseq 0.289a 6 3 ​ ​ a ≒ 0.289 a 正方形の内接円の半径は 1 2 a = 0.5 a \dfrac{1}{2}a=0.5a 2 1 ​ a = 0.5 a 正五角形は 1 2 5 − 2 5 a ≒ 0.688 a \dfrac{1}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}a\fallingdotseq 0.688a 2 5 − 2 5 ​ ​ 1 ​ a ≒ 0.688 a 正六角形は 3 2 a ≒ 0.866 a \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\fallingdotseq 0.866a 2 3 ​ ​ a ≒ 0.866 a 正八角形は 2 + 1 2 a ≒ 1.207 a \dfrac{\sqrt{2}+1}{2}a\fallingdotseq 1.207a 2 2 ​ + 1 ​ a ≒ 1.207 a →正多角形の内接円の半径・外接円の半径 半径が r 1 , r 2 r_1,r_2 r 1 ​ , r 2 ​ であり，中心間の距離が d d d である2つの円がある。共通外接線上の2つの接点間の距離 A B AB A B は d 2 − ( r 1 − r 2 ) 2 \sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2} d 2 − ( r 1 ​ − r 2 ​ ) 2 ​ →接点間の距離に関する有名問題4問（共通接線上の長さなど） 2点からの距離の和が一定である点の軌跡を 楕円 と言う。また，この2点のことを 焦点 という。 楕円の端を結ぶ直線のうち，長いものを 長軸 ，短いものを 短軸 という。 3辺の長さが a , b , c a,\:b,\:c a , b , c である三角形の外接円の半径を R R R ，面積を S S S とおくと， S = a b c 4 R S=\dfrac{abc}{4R} S = 4 R ab c ​ →外接円の半径と三角形の面積の関係(S=abc/4R) 円に内接する四角形 A B C D ABCD A BC D において, A B × C D ＋ A D × B C ＝ A C × B D AB×CD＋AD×BC＝AC×BD A B × C D ＋ A D × BC ＝ A C × B D が成立する。これをトレミーの定理と言う。 →トレミーの定理とその3通りの証明，応用例 円に内接する四角形 A B C D ABCD A BC D において A B = a , B C = b , C D = c , D A = d AB=a, BC=b, CD=c, DA=d A B = a , BC = b , C D = c , D A = d とおくと，四角形 A B C D ABCD A BC D の面積は， S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) ​ ただし， s = a + b + c + d 2 s=\dfrac{a+b+c+d}{2} s = 2 a + b + c + d ​ とおいた。 →ブラーマグプタの公式とその２通りの証明 3本の中線（頂点と向かい合う辺の中点を結んだ線）は1点で交わる。この点を 重心 と呼ぶ。 →三角形の五心の覚えておくべき性質を整理 正方形の4頂点を結ぶ方法で，使う線分の長さの総和が最も短いものを求めよ。 2点 A , B A,B A , B からの距離の比が m : n m:n m : n で一定である点の軌跡は円である。これをアポロニウスの円と呼ぶ。 →アポロニウスの円の証明と応用 円に外接する四角形 とは「4つの辺すべてが同じ円に接する」四角形です。 →円に外接する四角形とその性質 難関大の図形問題は「どの道具を使って解答するか」から考える必要があることも。 昔の東大入試では簡単な問題も出題されている。 →東大数学（図形問題）のポイントと例題 定円に内接する三角形の中で，面積が最大のものは正三角形である。 →円に内接する三角形の面積の最大値 周の長さが一定である長方形の中で，面積が最大のものは正方形。 →等周問題に関連する高校数学の問題 三角形について，各頂点から対辺におろした垂線の足がなす三角形を 垂足三角形 と言う。 →垂足三角形の意味と5つの性質 △ A B C \triangle \mathrm{ABC} △ ABC があり ∠ A = 5 18 π \angle \mathrm{A} = \dfrac{5}{18} \pi ∠ A = 18 5 ​ π ， ∠ B = 5 9 π \angle \mathrm{B} = \dfrac{5}{9}\pi ∠ B = 9 5 ​ π ， ∠ C = π 6 \angle \mathrm{C} = \dfrac{\pi}{6} ∠ C = 6 π ​ である。辺 B C \mathrm{BC} BC 上に ∠ B A D = π 6 \angle \mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{6} ∠ BAD = 6 π ​ を取り B \mathrm{B} B から辺 A C \mathrm{AC} AC に下した垂線との交点を H \mathrm{H} H とし B H \mathrm{BH} BH と A D \mathrm{AD} AD の交点を E \mathrm{E} E とする。 tan ⁡ 5 18 π tan ⁡ 7 18 π tan ⁡ π 3 tan ⁡ 4 9 π \dfrac{\tan \dfrac{5}{18} \pi \tan \dfrac{7}{18} \pi}{\tan \dfrac{\pi}{3} \tan \dfrac{4}{9} \pi} tan 3 π ​ tan 9 4 ​ π tan 18 5 ​ π tan 18 7 ​ π ​ を求めよ。 ∠ C E H \angle \mathrm{CEH} ∠ CEH を求めよ。 →tan を用いた図形の問題～防衛医科2024から 座標平面上の円 D 1 : x 2 + y 2 = 64 \mathrm{D}_1 : x^2 + y^2 = 64 D 1 ​ : x 2 + y 2 = 64 と円 D 2 : x 2 + ( y − 4 ) 2 = 9 \mathrm{D}_2 : x^2 + (y-4)^2 = 9 D 2 ​ : x 2 + ( y − 4 ) 2 = 9 に関して，以下の設問に答えよ。 座標平面上の3点 ( 0 , 8 ) (0,8) ( 0 , 8 ) ， ( 3 7 , 1 ) (3\sqrt{7},1) ( 3 7 ​ , 1 ) ， ( − 3 7 , 1 ) (-3\sqrt{7},1) ( − 3 7 ​ , 1 ) を頂点とする三角形の外接円は D 1 \mathrm{D}_1 D 1 ​ であり，内接円は D 2 \mathrm{D}_2 D 2 ​ であることを示せ。 座標平面上の3点 ( 0 , 8 ) (0,8) ( 0 , 8 ) ， ( 3 7 , 1 ) (3\sqrt{7},1) ( 3 7 ​ , 1 ) ， ( − 3 7 , 1 ) (-3\sqrt{7},1) ( − 3 7 ​ , 1 ) を頂点とする三角形の外接円は D 1 \mathrm{D}_1 D 1 ​ であり，内接円は D 2 \mathrm{D}_2 D 2 ​ であることを示せ。 D 1 \mathrm{D}_1 D 1 ​ が外接円であり，さらに D 2 \mathrm{D}_2 D 2 ​ が内接円である任意の三角形 △ A B C \triangle \mathrm{ABC} △ ABC に対して，実数 α \alpha α ， β \beta β ， γ \gamma γ を α = A B + B C + C A 2 − B C , β = A B + B C + C A 2 − C A , γ = A B + B C + C A 2 − A B \begin{aligned} \alpha &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{BC},\\ \beta &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{CA},\\ \gamma &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{AB}\\ \end{aligned} α β γ ​ = 2 AB + BC + CA ​ − BC , = 2 AB + BC + CA ​ − CA , = 2 AB + BC + CA ​ − AB ​ と定める。このとき α β + β γ + γ α = 105 \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 105 α β + β γ + γ α = 105 が成り立つことを示せ。 D 1 \mathrm{D}_1 D 1 ​ が外接円であり，さらに D 2 \mathrm{D}_2 D 2 ​ が内接円である任意の三角形 △ A B C \triangle \mathrm{ABC} △ ABC に対して，実数 α \alpha α ， β \beta β ， γ \gamma γ を α = A B + B C + C A 2 − B C , β = A B + B C + C A 2 − C A , γ = A B + B C + C A 2 − A B \begin{aligned} \alpha &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{BC},\\ \beta &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{CA},\\ \gamma &= \dfrac{\mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{CA}}{2} - \mathrm{AB}\\ \end{aligned} α β γ ​ = 2 AB + BC + CA ​ − BC , = 2 AB + BC + CA ​ − CA , = 2 AB + BC + CA ​ − AB ​ と定める。このとき α β + β γ + γ α = 105 \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 105 α β + β γ + γ α = 105 が成り立つことを示せ。 →三角形の面積にまつわる公式たち～京大特色2024を通して n n n を3以上の整数とする。正 n n n 角形 A A A の周の長さと円 C C C の周の長さが等しいとき， A A A の面積 S S S と C C C の面積 T T T の大小を比べよ。 →円と正多角形の間の等周問題～東北大学AO2022 座標平面における領域 A = { ( x , y ) ∣ y ≧ e x } A= \{ (x,y) \mid y \geqq e^x \} A = {( x , y ) ∣ y ≧ e x } で定まる図形 A A A を考える。 A A A に対して，原点を中心とする回転や平行移動を，何回か行って得られる図形を n n n 個用意し，それぞれ A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1, A_2, \cdots , A_n A 1 ​ , A 2 ​ , ⋯ , A n ​ とする。 このとき， A 1 , A 2 , ⋯ , A n A_1 , A_2 , \cdots , A_n A 1 ​ , A 2 ​ , ⋯ , A n ​ により座標平面を覆うことのできる n n n の最小値を求めよ。 →図形と図形で”はさみうち”～京大特色2025第3問 平行四辺形 A B C D \mathrm{ABCD} ABCD において， ∠ A B C = π 6 \angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{6} ∠ ABC = 6 π ​ ， A B = a \mathrm{AB} = a AB = a ， B C = b \mathrm{BC} = b BC = b ， a ≦ b a \leqq b a ≦ b とする。次の条件を満たす長方形 E F G H \mathrm{EFGH} EFGH を考え，その面積を S S S とする。 条件：点 A \mathrm{A} A ， B \mathrm{B} B ， C \mathrm{C} C ， D \mathrm{D} D はそれぞれ辺 E F \mathrm{EF} EF ， F G \mathrm{FG} FG ， G H \mathrm{GH} GH ， H E \mathrm{HE} HE 上にある。 ただし，辺はその両端の点も含むものとする。 ∠ B C G = θ \angle \mathrm{BCG} = \theta ∠ BCG = θ とするとき， S S S を a , b , θ a,b, \theta a , b , θ を用いて表せ。

S S S のとりうる値の最大値を a , b a,b a , b を用いて表せ。 →【解答・解説】東大理系数学2025 第3問 内接円の半径を r r r ，外接円の半径を R R R とおくとき，外心 O O O と内心 I I I との距離 d d d は以下の式で表される： d 2 = R 2 − 2 R r = R ( R − 2 r ) d^2=R^2-2Rr=R(R-2r) d 2 = R 2 − 2 R r = R ( R − 2 r ) →オイラーの定理（内心と外心の距離）とオイラーの不等式の証明を3通りずつ 任意の三角形について，1つの内角の二等分線と，残り2つの外角の二等分線は1点で交わる。この点を 傍心 と言う。 →傍心の意味と性質・内心との比較 三角形 A B C ABC A BC の各頂点からの距離の和 A F + B F + C F AF+BF+CF A F + BF + CF を最小にする点 F F F をフェルマー点と言う。 三角形 A B C ABC A BC の各頂点からの距離の和 A F + B F + C F AF+BF+CF A F + BF + CF を最小にする点 F F F をフェルマー点と言う。 最大角が 12 0 ∘ 120^{\circ} 12 0 ∘ 未満の三角形 A B C ABC A BC において，フェルマー点は三角形の内部に存在して ∠ A F B = ∠ B F C = ∠ C F A = 12 0 ∘ \angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ} ∠ A FB = ∠ BFC = ∠ CF A = 12 0 ∘ 最大角が 12 0 ∘ 120^{\circ} 12 0 ∘ 未満の三角形 A B C ABC A BC において，フェルマー点は三角形の内部に存在して ∠ A F B = ∠ B F C = ∠ C F A = 12 0 ∘ \angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ} ∠ A FB = ∠ BFC = ∠ CF A = 12 0 ∘ →三角形のフェルマー点の3通りの証明 任意の三角形 A B C ABC A BC において，以下の9点は同一円周上にある。 3辺の中点 A M , B M , C M A_M,B_M,C_M A M ​ , B M ​ , C M ​ 垂線の足 A H , B H , C H A_H,B_H,C_H A H ​ , B H ​ , C H ​ 垂心と各頂点の中点 A N , B N , C N A_N,B_N,C_N A N ​ , B N ​ , C N ​ 3つの円が互いに2点で交わるとき，3本の根軸は一点で交わる。 特に，接する2つの円の相似の中心は接点である。 三角形 A B C ABC A BC の内接円と辺 B C BC BC の接点を D D D とおく。 D D D から辺 B C BC BC と垂直な直線と内接円の交点を E E E とおく。さらに A E AE A E と B C BC BC の交点を F F F とおくと， B D = C F BD=CF B D = CF →内接円に関する数オリ頻出の図形 鋭角三角形 A B C ABC A BC の辺 B C BC BC 上に ∠ P A B = ∠ B C A , \angle PAB=\angle BCA, ∠ P A B = ∠ BC A , ∠ C A Q = ∠ A B C \angle CAQ=\angle ABC ∠ C A Q = ∠ A BC となるように取る。また， A M AM A M の中点が P P P ， A N AN A N の中点が Q Q Q となるように M , N M,N M , N を取る。 このとき B M BM BM と C N CN CN の交点 X X X が A B C ABC A BC の外接円上にあることを証明せよ。 →2014年IMO第4問の解説 三角形の五心から各頂点までの距離を素早く導出できるようになっておきましょう！ →三角形の五心と頂点までの距離 同一直線上の四点 A , P , B , Q A,\:P,\:B,\:Q A , P , B , Q に対して複比を， ( A , B ; P , Q ) = A P B P × B Q A Q (A,B;P,Q)=\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ} ( A , B ; P , Q ) = BP A P ​ × A Q BQ ​ と定義する。 →複比の定義と複比が不変であることの証明 同一直線上に四点 A , P , B , Q A,\:P,\:B,\:Q A , P , B , Q がこの順にあるとき， 1： A P : P B = A Q : Q B AP:PB=AQ:QB A P : PB = A Q : QB (線分 A B AB A B を同じ比で内分する点 P P P と外分する点 Q Q Q ) ならば四点 A , P , B , Q A,\:P,\:B,\:Q A , P , B , Q を調和点列と言う。 →調和点列の様々な定義と具体例 中心 O O O ，半径 r r r の円 Γ \Gamma Γ がある。このとき， 円 Γ \Gamma Γ による反転 を以下のように定義する。 P P P の行き先は，半直線 O P OP OP 上の点で， O P × O P ′ = r 2 OP\times OP'=r^2 OP × O P ′ = r 2 を満たす点 P ′ P' P ′ 三角形 A B C ABC A BC と A ′ B ′ C ′ A'B'C' A ′ B ′ C ′ がある。このとき， A A ′ AA' A A ′ ， B B ′ BB' B B ′ ， C C ′ CC' C C ′ が1点 O O O で交わる → A B AB A B と A ′ B ′ A'B' A ′ B ′ の交点 P P P ， B C BC BC と B ′ C ′ B'C' B ′ C ′ の交点 Q Q Q ， C A CA C A と C ′ A ′ C'A' C ′ A ′ の交点 R R R は同一直線上にある。 →デザルグの定理とその三通りの証明 三角形 A B C ABC A BC と点 P P P がある。 角の頂点を通る直線 l l l と角の二等分線に関して対称な直線 m m m を l l l の等角共役線という。 A P , B P , C P AP,\:BP,\:CP A P , BP , CP の等角共役線は一点で交わり，これを P P P の等角共役点という。 三角形 A B C ABC A BC の外側（または内側）に相似な二等辺三角形 A B F , B C D , C A E ABF,BCD,CAE A BF , BC D , C A E をつくる。このとき， A D , B E , C F AD,BE,CF A D , BE , CF は1点 X X X で交わる。 →Kiepertの定理とその証明 三角形 A B C ABC A BC において， 類似中線 （中線を角の二等分線に関して折り返した直線）は 3 3 3 本あるが，それらは 1 1 1 点で交わる。 この点を ルモアーヌ点 （類似重心，Symmedian Point，Lemoine Point）と言う。 →ルモアーヌ点（類似重心）とその性質 任意の三角形 A B C ABC A BC に対して， ∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA ∠ P A B = ∠ PBC = ∠ PC A を満たす点 P P P が（三角形 A B C ABC A BC の内部に）ただ1つ存在する。点 P P P を三角形 A B C ABC A BC の ブロカール点 と呼ぶ。 →ブロカール点の意味とブロカール角の性質 半径が r 1 , r 2 , r 3 , r 4 r_1,r_2,r_3,r_4 r 1 ​ , r 2 ​ , r 3 ​ , r 4 ​ である4つの円が互いに外接するとき， ( 1 r 1 + 1 r 2 + 1 r 3 + 1 r 4 ) 2 = 2 ( 1 r 1 2 + 1 r 2 2 + 1 r 3 2 + 1 r 4 2 ) \left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1}{r_4}\right)^2=2\left(\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}+\dfrac{1}{r_3^2}+\dfrac{1}{r_4^2}\right) ( r 1 ​ 1 ​ + r 2 ​ 1 ​ + r 3 ​ 1 ​ + r 4 ​ 1 ​ ) 2 = 2 ( r 1 2 ​ 1 ​ + r 2 2 ​ 1 ​ + r 3 2 ​ 1 ​ + r 4 2 ​ 1 ​ ) →デカルトの円定理と2通りの証明 四角形 A B C D \mathrm{ABCD} ABCD において， A B = a AB=a A B = a ， B C = b BC=b BC = b ， C D = c CD=c C D = c ， D A = d DA=d D A = d ， ∠ B A D + ∠ B C D = θ \angle \mathrm{BAD}+ \angle \mathrm{BCD} = \theta ∠ BAD + ∠ BCD = θ とおくと， 四角形の A B C D \mathrm{ABCD} ABCD の面積 S S S は， S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos ⁡ 2 ( θ 2 ) S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)} S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − ab c d cos 2 ( 2 θ ​ ) ​ ただし， s = a + b + c + d 2 s=\dfrac{a+b+c+d}{2} s = 2 a + b + c + d ​ とおいた。 →ブレートシュナイダーの公式～ブラーマグプタの公式の一般化 任意の三角形 A B C ABC A BC において，3つの角の三等分線どうしが最初にぶつかる点を P , Q , R P, Q, R P , Q , R とおくと，三角形 P Q R PQR PQR は正三角形である。 →フランク・モーリーの定理の証明 三角形 A B C ABC A BC において ∠ B \angle B ∠ B の二等分線と A C AC A C の交点を D D D ， ∠ C \angle C ∠ C の二等分線と A B AB A B の交点を E E E とおく。 B D = C E BD=CE B D = CE ならば ∠ B = ∠ C \angle B=\angle C ∠ B = ∠ C 互いに交わらない4つの円 O 1 , O 2 , O 3 , O 4 O_1,O_2,O_3,O_4 O 1 ​ , O 2 ​ , O 3 ​ , O 4 ​ がそれぞれ点 A , B , C , D A,B,C,D A , B , C , D で別の円 O O O に（この順番に）内接しているとき，円 i i i と j j j の共通外接線の長さを l i j l_{ij} l ij ​ とおくと， l 12 ⋅ l 34 + l 14 ⋅ l 23 = l 13 ⋅ l 24 l_{12}\cdot l_{34}+l_{14}\cdot l_{23}=l_{13}\cdot l_{24} l 12 ​ ⋅ l 34 ​ + l 14 ​ ⋅ l 23 ​ = l 13 ​ ⋅ l 24 ​ 三角形 A B C ABC A BC の内接円の半径を r r r ,各頂点から対辺に下ろした垂線の長さを h A , h B , h C h_A,h_B,h_C h A ​ , h B ​ , h C ​ とおくと， 1 r = 1 h A + 1 h B + 1 h C \dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{h_A}+\dfrac{1}{h_B}+\dfrac{1}{h_C} r 1 ​ = h A ​ 1 ​ + h B ​ 1 ​ + h C ​ 1 ​ →図形の美しい３つの定理〜逆数の和〜 中心が O O O である円に外接する四角形 A B C D ABCD A BC D において対角線 A C AC A C と B D BD B D の中点をそれぞれ M , N M,\:N M , N とおくと， M , N , O M,\:N,\:O M , N , O は同一直線上にある。この直線をニュートン線と呼ぶ。 三角形 A B C ABC A BC において内接円と各辺の接点を D , E , F D,E,F D , E , F とおくとき， A D , B E , C F AD,BE,CF A D , BE , CF は一点で交わる。この点をジュルゴンヌ点という。 →ジュルゴンヌ点とナーゲル点の存在証明 「全ての三角形は二等辺三角形，さらに正三角形である」 を証明します。 もちろんそのような命題が成立するはずはないので，証明のどこかに嘘があります。探してみてください！ →全ての三角形が二等辺三角形であることの証明！？ 一辺の長さが r r r の正三角形 A B C ABC A BC を書く 一辺の長さが r r r の正三角形 A B C ABC A BC を書く 各頂点を中心とし，半径が r r r の円を書く 各頂点を中心とし，半径が r r r の円を書く 全ての円の内部にある領域（緑の部分）をルーローの三角形と呼ぶ 全ての円の内部にある領域（緑の部分）をルーローの三角形と呼ぶ 1．いつもの平面に無限遠点を加えたもの 3．三次元空間中の原点を通る直線の集合 π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ \dfrac{\pi}{4}=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots 4 π ​ = 1 − 3 1 ​ + 5 1 ​ − 7 1 ​ + ⋯ →円周率の求め方（いろいろな計算式） 三角形の中心としては，五心（外心・内心・重心・垂心・傍心）が有名ですが，実は他にもたくさんあります。 その中でも有名なもの，私が好きなものなど 36 個選んで図示してみました。 →三角形の中心（36個）を図示してみた 3点 A B C ABC A BC と直線 B C BC BC 上の点 D D D ， C A CA C A 上の点 E E E ， A B AB A B 上の点 F F F がある。この6点は全て異なるとする。 このとき，三つの円 Γ ( A E F ) \Gamma(AEF) Γ ( A EF ) ， Γ ( B D F ) \Gamma(BDF) Γ ( B D F ) ， Γ ( C D E ) \Gamma(CDE) Γ ( C D E ) は一点で交わる。 A A A ， B B B ， C C C が同一直線上にある。 D D D ， E E E ， F F F が同一直線上にある。 A E AE A E と B D BD B D の交点を P P P B F BF BF と C E CE CE の交点を Q Q Q C D CD C D と A F AF A F の交点を R R R とするとき， P P P ， Q Q Q ， R R R は同一直線上にある。 １：線分 G A B C G A D C G_{ABC}G_{ADC} G A BC ​ G A D C ​ を S A D C : S A B C S_{ADC}:S_{ABC} S A D C ​ : S A BC ​ に内分する点が物理的重心。 →四角形の重心の2通りの求め方と注意点 { x ( θ ) = 3 sin ⁡ θ y ( θ ) = 2 sin ⁡ ( 2 θ + π 6 ) \begin{cases} x(\theta) = 3 \sin \theta\\ y(\theta) = 2 \sin \left(2\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) \end{cases} { x ( θ ) = 3 sin θ y ( θ ) = 2 sin ( 2 θ + 6 π ​ ) ​ と表されるリサージュ曲線で囲まれた領域の面積を求めよ。 →リサージュ曲線の定義とそれに関連する話 正 n n n 角形 A 1 A 2 … A n A_1A_2\dots A_n A 1 ​ A 2 ​ … A n ​ が半径 1 1 1 の円に内接しているとき，以下の1～4が成立する。 ∑ k = 2 n ( A 1 A k ) 2 = 2 n \displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^2=2n k = 2 ∑ n ​ ( A 1 ​ A k ​ ) 2 = 2 n ∏ k = 2 n ( A 1 A k ) = n \displaystyle\prod_{k=2}^n(A_1A_k)=n k = 2 ∏ n ​ ( A 1 ​ A k ​ ) = n ∑ k = 2 n ( A 1 A k ) 2 m = n × 2 m C m ( n > m > 0 ) \displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^{2m}=n\times{}_{2m}\mathrm{C}_m\:(n>m>0) k = 2 ∑ n ​ ( A 1 ​ A k ​ ) 2 m = n × 2 m ​ C m ​ ( n > m > 0 ) ∑ k = 2 n 1 ( A 1 A k ) 2 = n 2 − 1 12 \displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{(A_1A_k)^2}=\dfrac{n^2-1}{12} k = 2 ∑ n ​ ( A 1 ​ A k ​ ) 2 1 ​ = 12 n 2 − 1 ​ →正多角形の対角線の長さの偶数乗和と積 正七角形の対角線（および辺）の長さを短い順に a , b , c a,b,c a , b , c とすると， 1 a = 1 b + 1 c \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} a 1 ​ = b 1 ​ + c 1 ​ が成立する。 ただ1つの図形で平面を敷き詰めることができる。特に周期性のない敷き詰め方ができる図形がある。 →アインシュタイン問題～1つの図形による平面のタイリング レムニスケート曲線 とは，極方程式 r 2 = a 2 cos ⁡ 2 θ r^2 = a^2\cos 2\theta r 2 = a 2 cos 2 θ で表される曲線である。 しばしば 連珠形 ということもある。 →レムニスケート曲線とその性質 図において， M M M は弦 A B AB A B の中点とする。 このとき， M P = M Q MP=MQ MP = MQ となる。 →胡蝶定理（butterfly theorem） R 3 \ { O } \mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \} R 3 \ { O } に次のように同値関係 ∼ \sim ∼ を定める。 ( x , y , z ) , ( x ′ , y ′ , z ′ ) ∈ R 3 \ { O } (x,y,z) , (x' , y' , z') \in \mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \} ( x , y , z ) , ( x ′ , y ′ , z ′ ) ∈ R 3 \ { O } に対して ( x , y , z ) ∼ ( x ′ , y ′ , z ′ ) ⟺ (x,y,z) \sim (x' , y' , z') \iff ( x , y , z ) ∼ ( x ′ , y ′ , z ′ ) ⟺ ある 0 0 0 でない実数 k k k があって， x = k x ′ x = kx' x = k x ′ ， y = k y ′ y = ky' y = k y ′ ， z = k z ′ z = kz' z = k z ′ この同値関係による商 R 3 \ { O } / ∼ \mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \} / \sim R 3 \ { O } / ∼ を 射影平面 R P 2 \mathbb{R} P^2 R P 2 という。 東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る 平均値，中央値，最頻値の求め方といくつかの例 放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式 リーマン予想の意味，素数分布との関係 判別式まとめ【2次方程式の実数解・x軸との共有点の個数】 ★ 数学オリンピック対策の記事 ◎ 大学数学レベルの記事その2