教育サービス・ツール紹介 通信教育 資格取得 高校生向け資格・スキル 教員向け資格・スキル 英会話教室 英語学習アプリ 教育関係者向けサービス一覧 指導グッズ 転職エージェント・サイト 高校生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 塾・予備校 中学生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 資格取得 高校生向け資格・スキル 教員向け資格・スキル 英会話教室 英語学習アプリ 教育関係者向けサービス一覧 指導グッズ 転職エージェント・サイト 高校生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 塾・予備校 中学生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 通信教育・タブレット学習教材 進研ゼミ Z会 スタディサプリ すらら スマイルゼミ 小中高生・保護者の方向け 勉強法 学習グッズ 高校生向け 小中高生・保護者向けQ&A 数学関連 数学検定準２級対策 高校数学解説集 高校数学公式集 教育向けスキル・知識 授業 ICT・PC 学級経営 新学習指導要領 新任教員向け 指導グッズ 教員を辞めたい方 転職エージェント・サイト 教育サービス・ツール紹介 通信教育 資格取得 高校生向け資格・スキル 教員向け資格・スキル 英会話教室 英語学習アプリ 教育関係者向けサービス一覧 指導グッズ 転職エージェント・サイト 高校生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 塾・予備校 中学生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 資格取得 高校生向け資格・スキル 教員向け資格・スキル 英会話教室 英語学習アプリ 教育関係者向けサービス一覧 指導グッズ 転職エージェント・サイト 高校生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 塾・予備校 中学生向けサービス一覧 学習グッズ オンライン家庭教師 通信教育・タブレット学習教材 進研ゼミ Z会 スタディサプリ すらら スマイルゼミ 小中高生・保護者の方向け 勉強法 学習グッズ 高校生向け 小中高生・保護者向けQ&A 数学関連 数学検定準２級対策 高校数学解説集 高校数学公式集 教育向けスキル・知識 授業 ICT・PC 学級経営 新学習指導要領 新任教員向け 指導グッズ 教員を辞めたい方 転職エージェント・サイト 【数学II】公式集一覧〜式と証明・複素数・図形と方程式・三角関数・指数対数・微分積分〜 記事内に商品プロモーションを含む場合があります。 ここでは、【数学II】でよく利用する公式（基礎知識）を一覧にしてまとめています。 【数学II】式と証明～公式集一覧～ ①\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) ②\((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\) ①\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\) ②\(a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\) \(= {}_nC_n a^n + {}_nC_{n-1} a^{n -1}b + {}_nC_{n-2} a^{n -2}b^2\) \(+ \cdots + {}_nC_{r} a^rb^{n-r} + \cdots + {}_nC_{0} b^n\) \(A\) を \(B\)で割ったときの商を\(Q\), 余りを\(R\)とするとき ※（割られる式）＝（割る式）×（商）＋（余り） ①\(\displaystyle\frac{A}{B} \times \displaystyle\frac{C}{D}=\displaystyle\frac{AC}{BD}\) ②\(\displaystyle\frac{A}{B} \div \displaystyle\frac{C}{D}\)\(=\displaystyle\frac{A}{B}\times\displaystyle\frac{D}{C}\)\(=\displaystyle\frac{AD}{BC}\) ③\(\displaystyle\frac{A}{C} + \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A+B}{C}\) ④\(\displaystyle\frac{A}{C} – \displaystyle\frac{B}{C}=\displaystyle\frac{A-B}{C}\) ① \(ax^2 + bx + c = a’x^2 + b’x + c’\) が\(x\) の恒等式 ⇔ \(a = a’, b = b’, c = c’\) ② \(ax^2 + bx + c = 0\) が \(x\) の恒等式 ⇔ \(a = b = c = 0\) ①（左辺）or（右辺）を変形して，他方になることを示す ②（左辺）－（右辺）を変形して，\((左辺) – (右辺) = 0\) を示す ①（左辺）―（右辺）\(\geq 0\) を示す ②\((左辺)^2 –(右辺)^2 \geq 0\) を示す 実数\(a, b\) について ①\(a^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = 0\) のとき成り立つ） ②\(a^2 + b^2 \geq 0\) （等号成立は\(a = b = 0\) のとき成り立つ） \(a > 0, b > 0\) のとき \(\displaystyle\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\) (等号成立は \(a = b\) のとき成り立つ) 【数学II】複素数と方程式～公式集一覧～ \(a, b, c, d\) は実数とする。 \(i^2 = -1\)を満たす数を\(i\)と表す。 ※特に、\(a > 0\) において \(\sqrt{- a} = \sqrt{a} i \) 複素数 \(a +bi\)において ①\(a\) : 実部 , \(b\) : 虚部 という ②実数のとき, \(b = 0\) ③虚数のとき, \(b \neq 0\) ④純虚数のとき, \(a = 0, b \neq 0\) \(a + bi = c +di ⇔ a = c かつ b = d\) 特に、\(a + bi = 0 ⇔ a = 0 かつ b = 0\) \(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の判別式 \(D = b^2 – 4ac\) において ①\(D > 0\) ⇔ 異なる２つの実数解をもつ（実数解２個） ②\(D = 0\) ⇔ 重解をもつ（実数解１個） ③\(D < 0\) ⇔ 異なる２つの虚数解をもつ（実数解なし） ※\(D \geq 0\) ⇔ 実数解をもつ（実数解１or２個） 2次方程式\(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき 和：\(\alpha + \beta = -\displaystyle\frac{b}{a}\) 積：\(\alpha\beta = \displaystyle\frac{c}{a}\) \(ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)\) の２つの解を\(\alpha, \beta\) とするとき \(ax^2 + bx + c = a(x – \alpha)(x – \beta)\) ２数\(\alpha, \beta\) を解とする２次方程式の１つは ①\((x – \alpha)(x – \beta) = 0\) ②\(x^2 –(\alpha + \beta)x +\alpha\beta = 0\) \(P(x)\) を\((x – k)\)で割った商を \(Q(x)\)、余りを\(R\)とすると ①\(P(x) = (x – k)Q(x) + R\) と表せる 多項式\(P(k) = 0\) ⇔ 多項式\(P(x)\) は \((x – k)\) を因数にもつ 【数学II】図形と方程式～公式集一覧～ ２点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)の距離ABは AB = \(\sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}\) ２点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)を結ぶ線分ABについて ①\(m : n\) に内分する点は \(\left(\displaystyle\frac{nx_1 + mx_2}{m + n}, \displaystyle\frac{ny_1 + my_2}{m + n}\right)\) ②\(m : n\) に外分する点は \(\left(\displaystyle\frac{-nx_1 + mx_2}{m – n}, \displaystyle\frac{-ny_1 + my_2}{m – n}\right)\) \(\left(\displaystyle\frac{x_1 + x_2}{2},\displaystyle\frac{y_1 + y_2}{2}\right)\) ３点\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\) を頂点とする△ABCの重心は \(\left(\displaystyle\frac{x_1 + x_2 + x_3 }{3},\displaystyle\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\) ①点\((x_1, y_1)\) を通り，傾きが \(m\) の直線の方程式は \(y – y_1 = m(x – x_1)\) ②点\((x_1, y_1)\) を通り，\(x\) 軸に垂直な直線の方程式は ２点\((x_1, y_1), (x_2, y_2)\)を通る直線の方程式は ①\(x_1 \neq x_2\) のとき \(y – y_1 = \displaystyle\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}(x – x_1)\) ②\(x_1 = x_2\) のとき ２直線\(y = m_1 x + n_1 , y = m_2 x + n_2\) について ①平行 ⇔ \(m_1 = m_2\) ②垂直 ⇔ \(m_1m_2 = -1\) ⇔ \(m_1 = -\displaystyle\frac{1}{m_2}\) 点\((x_1, y_1)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離\(d\) は \(d = \displaystyle\frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) ※特に、原点\((0, 0)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離\(d\) は \(d = \displaystyle\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) 中心\((a, b)\), 半径\(r\) の円の方程式は \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) ※特に、原点中心、半径\(r\) の円の方程式は \(x^2 + y^2 = r^2\) ⇒ \((x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) ⇒ \(x^2 + y^2 + lx +my + n = 0\) 円の半径を\(r\) , 円の中心から直線までの距離を\(d\)とするとき ①円と直線が異なる2点で交わる ⇔ \(d < r\) ②円と直線が接する ⇔ \(d = r\) ③円と直線が交わらない ⇔ \(d > r\) 円 \(x^2 + y^2 = r^2\) 上の点\((x_1, y_2)\) における接線の方程式は \(x_1 x + y_1 y = r^2\) ２つの円\(C_1\), \(C_2\) の半径をそれぞれ\(r , r’\)\((r > r’)\) ,中心間の距離を\(d\)とすると 互いに外部にある ⇔ \(d > r + r’\) 外接する ⇔ \(d = r + r’\) ２点で交わる ⇔ \(r – r’ < d < r + r’\) 内接する ⇔ \(d = r – r’\) 一方が他方の内部 ⇔ \(d < r – r’\) 条件を満たす点\(P\) の座標を\(x, y\)として、図示する \(x, y\) の関係式を求める 逆に，②で求めた関係式（図形）上のすべての点\(P(x, y)\) が条件を満たすことを確かめる 直線 \(y = ax + b\) について、 ① 不等式 \(y > ax + b\)の表す領域は直線\(y = ax + b\)の上側の部分。ただし、境界線を含まない。 ② 不等式 \(y < ax + b\)の表す領域は直線\(y = ax + b\)の下側の部分。ただし、境界線を含まない。 ③ 不等式 \(y \leq ax + b\)の表す領域は直線\(y = ax + b\)の上側の部分。ただし、境界線を含む。 ④ 不等式 \(y \geq ax + b\)の表す領域は直線\(y = ax + b\)の下側の部分。ただし、境界線を含む。 曲線\(y = f(x)\)について ①’ 不等式\(y > f(x)\)の表す領域は、曲線\(y = f(x)\)の上側の部分。ただし、境界線を含まない。 ②’ 不等式\(y < f(x)\)の表す領域は、曲線\(y = f(x)\)の下側の部分。ただし、境界線を含まない。 曲線\(x = g(y)\)について、 ③’ 不等式 \(x < g(y)\)の表す領域は、曲線の左側の部分。ただし、境界線を含まない。 ④’ 不等式 \(x > g(y)\)の表す領域は、曲線の右側の部分。ただし、境界線を含まない。 円 \(C : (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\) について、 ① 不等式 \(C : (x – a)^2 + (y – b)^2 < r^2\)の表す領域は円\(C\) の内部。ただし、境界線を含まない。 ② 不等式 \(C : (x – a)^2 + (y – b)^2 > r^2\)の表す領域は円\(C\) の外部。ただし、境界線を含まない。 【数学II】三角関数～公式集一覧～ 半径１の円の弧の長さに対する角度 → 弧度法 \(180^\circ = \pi\)ラジアン ①\(\sin\theta = \displaystyle\frac{y}{r}\) ②\(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{r}\) ③\(\tan\theta = \displaystyle\frac{y}{x}\) \(\theta\)の関数とみたとき、これらを三角関数という \(\cos\)の値 → 単位円上の\(x\)座標 \(\sin\)の値 → 単位円上の\(y\)座標 \(\tan\)の値 → 直線の傾き \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\) \(-1 \leq \sin\theta \leq 1\) \(\tan \theta\) → 実数全体 \(\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) \(1+\tan^2{\theta}=\displaystyle\frac{1}{\cos^2{\theta}}\) \(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta\) \(\cos(\theta + 2n\pi) = \cos\theta\) \(\tan(\theta + n\pi) = \tan\theta\) \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) \(\cos(-\theta) = \cos\theta\)

\(\tan(-\theta) = -\tan\theta\) ※\(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)関連の加減 → 変わる \(\sin ⇒ \cos\) \(\cos ⇒ \sin\) \(\tan ⇒ \displaystyle\frac{1}{\tan}\) ※\(\pi\)関連の加減 → 変わらない \(\sin ⇒ \sin\) \(\cos ⇒ \cos\) \(\tan ⇒ \tan \) 周期：\(2\pi\), 原点対称 周期：\(2\pi\), \(y\)軸対称 周期：\(\pi\), 原点対称 \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) \(\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta\) \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta\) \(\cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\) \(\tan(\alpha+\beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 – \tan\alpha \tan\beta}\) \(\tan(\alpha – \beta) = \displaystyle\frac{\tan\alpha – \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}\) ①\(\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta\) ②\(\cos2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta\) \(= 1 – 2\sin^2\theta\) \(=2\cos^2\theta – 1\) ③\(\tan2\theta = \displaystyle\frac{2\tan\theta}{1 – \tan^2\theta}\) ①\(\sin^2\theta = \displaystyle\frac{1 – \cos2\theta}{2}\) ②\(\cos^2\theta = \displaystyle\frac{1 + \cos2\theta}{2}\) ③\(\tan^2\theta = \displaystyle\frac{1 – \cos2\theta}{1 + \cos2\theta }\) ①\(\sin^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 – \cos\theta}{2}\) ②\(\cos^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 + \cos\theta}{2}\) ③\(\tan^2\displaystyle\frac{\theta}{2} = \displaystyle\frac{1 – \cos\theta}{1 + \cos\theta }\) \(a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)\) \(\sin\alpha = \displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) \(\cos\alpha = \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) 【数学II】指数〜公式集一覧〜 \(a > 0, b > 0, m, n, p\) は正の整数とする。 \((\sqrt[n]{a})^n = a\) \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\) \(\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\displaystyle\frac{a}{b}}\) \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\) \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\) \(\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}\) \(a > 0 , m, n\) は正の整数, \(r\) は正の有理数とする \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) ※特に、\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\), \(a^{-r} = \displaystyle\frac{1}{a^r}\) \(m , n \)は有理数とする。 ① \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) ② \((a^m)^n = a^{mn}\) ③ \((ab)^n =a^n b^n\) ① \(a^3 \times a^{-2} \) ② \((a^2)^{-3} \) ③ \((ab)^{-2} \) ① \(a^3 \times a^{-2} = a^{3-2}=a \) ② \((a^2)^{-3} = a^{2 \times (-3)} =a^{-6} = \displaystyle\frac{1}{a^6}\) ③ \((ab)^{-2} = a^{-2} b^{-2} = \displaystyle\frac{1}{a^2b^2}\) 定義域：実数全体，値域：\(0 < y\) ①\(1 < a\)(底が1より大きい)とき 増加関数(\(x\)が増加すると\(y\)も増加) ②\(0 < a < 1\)(底が0より大きく、１より小さい)とき減少関数(\(x\)が減少すると\(y\)も減少) 【数学II】対数〜公式集一覧〜 \(a > 0, a \neq 1, M > 0\) とする。 \(a^p = M ⇔ p = \log_a M\) ※「\(M\) は\(a\) の何乗か（指数の逆）」の値を表す \(a > 0, a \neq 1, M > , N > 0, k\) :実数 とする。 \(\log_a a = 1\), \(\log_a 1 =0\), \(\log_a \displaystyle \frac{1}{a} = -1\) \(\log_a M + \log_a N = \log_a MN\) \(\log_a M – \log_a N = \log_a \displaystyle\frac{M}{N}\) \(\log_a M^k =k \log_aM\) \(a > 0, b > 0, c > 0\) で，\(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1\) のとき， \(\log_ab = \displaystyle\frac{\log_cb}{\log_ca}\) 特に、\(\log_ab = \displaystyle\frac{1}{\log_ba}\) 定義域：\(0 < x\)，値域：実数全体 ①\(1 < a\)(底が1より大きい)とき 増加関数(\(x\)が増加すると\(y\)も増加) ②\(0 < a < 1\)(底が0より大きく、１より小さい)とき減少関数(\(x\)が減少すると\(y\)も減少) 底が10 である対数を 常用対数 という \(0 < x\) において ①\(n – 1 \leq \log_{10} x < n\)のとき、 \(x\) は\(n\)桁の整数 ②\(-n \leq \log_{10} x < -(n-1) \)のとき、 \(x\) は小数第 \(n\) 位に初めて0でない数字が表れる 関数\(f(x)\) において，\(x\) が\(a\) から\(b\)まで変化するときの平均変化率は \(\displaystyle \color{red}{\displaystyle\frac{f(b) – f(a)}{b – a}}\) ※平均変化率は中学における「変化の割合」と同じ 関数\(f(x)\) の\(x = a\) における微分係数\(f’(a)\)は \(\displaystyle \color{red}{f’(a) = \lim\limits_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(a+h) – f(a)}{h}}\) ※微分係数\(f’(a)\) は「関数\(y = f(x)\)の\(x = a\)における接線の傾き」を表す \(\displaystyle \color{red}{f’(x) = \lim\limits_{h \to 0}\displaystyle\frac{f(x+h) – f(x)}{h}}\) ※導関数\(f’(x)\) は「接線の傾きが出る式」を表す \(n\)を正の整数、\(c\)を定数とするとき、 ・\((x^n)’ = nx^{n-1}\) \(k, l\) は定数とするとき、 \(\{kf(x)\}’ = kf’(x)\) \(\{f(x) + g(x)\}’ = f’(x) + g’(x)\) \(\{kf(x) + lg(x)\}’ = kf’(x) + lg’(x)\) 曲線\(y = f(x)\)上の点\(A(a, f(a)) における接線の方程式は \(\displaystyle \color{red}{y – f(a) = f’(a)(x – a)}\) 関数\(y = f(x)\)において ①\(f’(x) > 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは増加する ※接線の傾きが正の範囲ではグラフは増加する ②\(f’(x) < 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは減少する ※接線の傾きが負の範囲ではグラフは減少する ③\(f’(x) = 0\) となる\(x\) の値の範囲ではグラフは一定 ※接線の傾きが0の部分ではグラフは一定となる 関数\(y = f(x)\) について ①\(f’(x)\) の符号が\(x = a\)の前後で正から負に変わるとき、 \(f(x)\)は\(x = a\)で 極大 になるといい、\(f(a)\)を 極大値 という ②\(f’(x)\) の符号が\(x = a\)の前後で負から正に変わるとき、 \(f(x)\)は\(x = a\)で 極小 になるといい、\(f(a)\)を 極小値 という ※極大値と極小値をまとめて、「 極値 」という。 関数\(f(x)\)が\(x = a\)で極値をとるとき、\(f’(a) = 0\) ※ただし、\(f’(a) = 0\)であっても、関数\(f(x)\)は\(x = a\)で極値をとるとは限らない \(F’(x) = f(x)\) のとき \(\int f(x) dx = F(x) + C\) (\(C\) は積分定数) ※\(F(x)\)を原始関数という \(\int x^n dx = \displaystyle\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\) (\(C\) は積分定数) \(k, l\) は定数とする ①\(\int kf(x) dx = k \int f(x) dx \) ②\(\int \{f(x) + g(x)\} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \) ③\(\int \{kf(x) + lg(x)\} dx = k\int f(x) dx + l\int g(x) dx \) \(F’(x) = f(x)\) のとき \(\int_{a}^{b} f(x) dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b) – F(a) \) ①\(\int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \) ②\(\int_{a}^{b} \{f(x) + g(x)\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \) ③\(\int_{a}^{a} f(x) dx = 0\) ④\(-\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{b}^{a} f(x) dx\) ⑤\(\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx\) \(\displaystyle \color{red}{\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)}\) (\(a\)は定数) 区間 \(a\leq x \leq b\) において \(f(x) \geq 0\) のとき \(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}f(x)dx}\) \(f(x) \leq 0\) のとき \(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}\{-f(x)\}dx}\) 区間 \(a\leq x \leq b\)で\(f(x) \geq g(x)\) のとき \(\displaystyle \color{red}{S = \int_{a}^{b}\{f(x) – g(x) \}dx}\) \(y = f(x)\) において ①\(f(x)\)が奇関数のとき \(\displaystyle \color{red}{\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0}\) ②\(f(x)\)が偶関数のとき \(\displaystyle \color{red}{\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx} \) \(\displaystyle \color{red}{\int_{\alpha}^{\beta}(x – \alpha)(x – \beta)dx = -\displaystyle\frac{1}{6}(\beta – \alpha)^3 }\) \(\displaystyle \color{red}{\int_{\alpha}^{\beta}(x – \alpha)^2 dx = \displaystyle\frac{1}{3}(\beta – \alpha)^3 }\) 放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) と直線 \(g(x) = px+q\) の交点の \(x\) 座標を \(α, β(α<β）\)とするとき，この放物線と直線で囲まれた図形の面積 \(S\) は \(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3}\) 放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) と直線 \(g(x) = px^2+qx+r\) の交点の \(x\) 座標を \(α, β(α<β）\)とするとき，この2つの放物線で囲まれた図形の面積 \(S\) は \(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a – p|}{6}(\beta – \alpha)^3}\) 放物線 \( f(x) = ax^2+ bx + c\) とその接線 \(g(x) = px+q\) の接点の \(x\) 座標を \(α\)とするとき，この放物線と接線および直線\(x = \beta\) で囲まれた図形の面積 \(S\) は \(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{3}(\beta – \alpha)^3}\) 図において，放物線 \( y = ax^2 + bx + c \) と2本の接線の接点\(Q\),\(P\)の \(x\) 座標をそれぞれ \( \alpha, \beta \)(\( \alpha < \beta \))とすると， ① \(\displaystyle \color{red}{r = \displaystyle\frac{\alpha + \beta}{2}}\) ② \(\displaystyle \color{red}{S = \displaystyle\frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^3}\) ③ \(\displaystyle \color{red}{S’ = S_1 + S_2 = \displaystyle\frac{|a|}{12}(\beta – \alpha)^3}\) ④ \(\displaystyle \color{red}{S_1 = S_2 = \displaystyle\frac{|a|}{24}(\beta – \alpha)^3}\) 3次関数 \( y = f(x) \)（3次の係数が \( a \)）とその接線 \( y = g(x) \) が，\( x = \alpha \) で接し，\( x = \beta \) で交わるとき，この3次関数と接線で囲まれた図形の面積 \( S \) は \( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{ |a| }{ 12 } ( \beta – \alpha)^4 } \) 3次関数 \( y = f(x) \)（3次の係数が \( a \)）と2次関数 \( y = g(x) \) が，\( x = \alpha \) で接し，\( x = \beta \) で交わるとき，この3次関数と接線で囲まれた図形の面積 \( S \) は \( \displaystyle \color{red}{ S = \frac{ |a| }{ 12 } ( \beta – \alpha)^4 } \) 💡 公式を覚えた「あと」の演習はどうしていますか？ 公式を暗記しただけでは、実際のテストで「どの公式を使えばいいか分からない…」となりがちです。 数学の点数を伸ばすには、自分に合った方法で演習を重ねることが不可欠です。 特に高校生から選ばれているのが、 「動画でサクッと復習できるサービス（スタディサプリ）」 や 「専用教材で演習できる通信教育（進研ゼミ）」 などの活用です。 「自分にはどの学習方法が合っているか」を確かめたい方は、以下の解説記事を参考にしてみてください。 🔹 人気2大教材のどちらが良いか具体的に比較したい方 👉 【高校生向け】進研ゼミとスタディサプリはどっちがおすすめ？特徴と料金の違い 🔹 他社も含めて幅広くおすすめを知りたい方 👉 【高校生向け】通信教育おすすめランキング！人気教材を徹底比較 おすすめ書籍（公式集）・グッズ 【数学II】微分法・積分法〜基本公式・面積公式・例題一覧〜 勉強グッズ・学習グッズ・文房具おすすめ一覧 【数学Ⅰ・図形と計量】三角比（sin,cos,tan）の定義と覚え方！直角三角形の求め方 2026年9月13日 ベクトル 基本問題一覧〜一問一答式（高校数学C）〜 2026年9月6日 【高校数学Ⅰ】データの分析を完全攻略！公式・全単元解説・問題集まとめ 2026年9月4日 【数学Ⅰ・データの分析】仮説検定の考え方と解き方の手順（コイン投げの例題で解説） 2026年9月3日 【数学Ⅰ・データの分析】散布図と相関係数の求め方！公式と見方を徹底解説 2026年8月30日 【中学数学】図形 基本問題一覧〜一問一答式〜 2026年8月28日 【数学Ⅰ・データの分析】分散と標準偏差の求め方！公式と意味を徹底解説 2026年8月23日 【数学Ⅰ・データの分析】四分位数と箱ひげ図の求め方・見方をわかりやすく解説 2026年8月21日 コメントする コメントをキャンセル